| Les croix magiques (suite) |
Une croix magique c'est aussi un jeu mathématique de dénombrement. On place sur chacune des intersections de la croix un chiffre compris entre 1 et le nombre d'intersections. La somme de chacun des cotés doit être une constante. On peut dessiner une croix magique avec 5, 6, 7, 8, .... autant que l'on veut.
S'il y a n cotés, il y a 2n points et la somme doit être (4n+2).
La figure représente une croix magique à 8 cotés avec n chiffres de 1 à 2n. La somme de chaque coté est donc 4n-2.
Il y a deux types de symétrie sur une croix magique :
1 : symétrie par rotation. Si l'on regarde la figure et qu'on la tourne dans le sens des aiguilles d'une montre de 45°, on retrouve exactement la même figure. Nous avons une symétrie par rotation de p/4.
2 : symétrie miroir. Si on applique une symétrie par rapport à l'axe vertical, on retrouve une solution qui fonctionne.
Les solutions sont donc un ensemble de solutions uniques plus les solutions que l'on trouvera en appliquant les deux types de symétries. Il y a n! possibilité de placer les chiffres sur la croix magique. C'est ENORME. 20 922 789 888 000 pour huit cotés.
Je me propose de trouver toutes les solutions uniques de chacune des croix de 5 à n cotés dans le chapitre Algorithme.
Il n'y a pas de solution pour une croix à 5 cotés... Si quelqu'un possède la démonstration, qu'il me l'envoie à cette adresse.
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1 S'il y a n côtés et 4 points sur chaque côté, cela fait 4n points. Mais chaque point est pris 2 fois, d'où 2n points seulement. 2 On trouve les nombres de 1 à 2n. La somme de ces nombres est (formule connue): n(2n+1). 3 Il y a n côtés sur laquelle la somme est S. Si on totalise les nombres des n côtés, cela fait nS. Tous les nombres de 1 à 2n sont pris deux fois. donc nS = 2n(2n+1) S=2(2n+1). Merci à Jean-Luc Bregeon pour ces démonstrations Retrouvez son site dans les liens |
